Question

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C₁交于不同的两点A、B，且满足|OA|²+|OB|²＞|AB|²，（其中O为原点），求l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．
（2）将直线代入双曲线方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，可得∠AOB为锐角，从而有•＞0求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．
解答：解：（1）∵椭圆C₁的方程为左、右顶点分别为（2，0），（-2，0），左、右焦点分别为（），
可设C₂的方程为，则a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程为．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
联立，消去y，整理得：
∴
一会
由得：或
∵|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
∴0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴
即
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4==
∵，即k²＜4
∴-2＜k＜2
故由①、②得或
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，是高考的热点．