题目内容
设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）设复数z满足条件|z+3|+（-1）n|z-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*，常数a∈ (
， 3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2，且两条曲线都经过点D(2，
)，求轨迹C1与C2的方程；
（2）在（1）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于
，求实数x0的取值范围．
（1）设复数z满足条件|z+3|+（-1）n|z-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*，常数a∈ (
| 3 |
| 2 |
| 2 |
（2）在（1）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于
2
| ||
| 3 |
分析：（1）方法1：分n为奇数、偶数，结合双曲线、椭圆的定义，联立方程组，即可求出轨迹C1与C2的方程；
方法2：先确定轨迹为C1与C2都经过点D(2，
)，且点D(2，
)对应的复数z=2+
i，再结合双曲线、椭圆的定义，即可求出轨迹C1与C2的方程；
（2）表示出点A与点B（x0，0）（x0＞0）距离，利用最小距离不小于
，建立不等式，即可求实数x0的取值范围
方法2：先确定轨迹为C1与C2都经过点D(2，
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（2）表示出点A与点B（x0，0）（x0＞0）距离，利用最小距离不小于
2
| ||
| 3 |
解答：解：（1）方法1：①当n为奇数时，|z+3|-|z-3|=2a，常数a∈ (
， 3)，
轨迹C1为双曲线，其方程为
-
=1；…（3分）
②当n为偶数时，|z+3|+|z-3|=4a，常数a∈ (
， 3)，
轨迹C2为椭圆，其方程为
+
=1；…（6分）
依题意得方程组
⇒
，解得a2=3，
因为
＜a＜3，所以a=
，
此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
-
=1（x＞0），
+
=1．…（9分）
方法2：依题意得
⇒
…（3分）
轨迹为C1与C2都经过点D(2，
)，且点D(2，
)对应的复数z=2+
i，
代入上式得a=
，…（6分）
即|z+3|-|z-3|=2
对应的轨迹C1是双曲线，方程为
-
=1（x＞0）；
|z+3|+|z-3|=4
对应的轨迹C2是椭圆，方程为
+
=1．…（9分）
（2）由（1）知，轨迹C2：
+
=1，设点A的坐标为（x，y），
则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-
x2=
x2-2x0x+
+3=
(x-
x0)2+3-
，x∈[-2
，2
]…（12分）
当0＜
x0≤2
即0＜x0≤
时，|AB|2min=3-
≥
⇒0＜x0≤
当
x0＞2
即x0＞
时，|AB|min=|x0-2
|≥
⇒x0≥
，…（16分）
综上，0＜x0≤
或x0≥
．…（18分）
| 3 |
| 2 |
轨迹C1为双曲线，其方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 9-a2 |
②当n为偶数时，|z+3|+|z-3|=4a，常数a∈ (
| 3 |
| 2 |
轨迹C2为椭圆，其方程为
| x2 |
| 4a2 |
| y2 |
| 4a2-9 |
依题意得方程组
|
|
因为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 6 |
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 3 |
方法2：依题意得
|
|
轨迹为C1与C2都经过点D(2，
| 2 |
| 2 |
| 2 |
代入上式得a=
| 3 |
即|z+3|-|z-3|=2
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 6 |
|z+3|+|z-3|=4
| 3 |
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 3 |
（2）由（1）知，轨迹C2：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 3 |
则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| x | 2 0 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| x | 2 0 |
| 3 |
| 3 |
当0＜
| 4 |
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| x | 2 0 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
当
| 4 |
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
8
| ||
| 3 |
综上，0＜x0≤
| 5 |
8
| ||
| 3 |
点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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