Question

如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：f(x)在[－7，－2]上是增函数．证明如下：

任取x₁，x₂∈[－7，－2]，且x₁＜x₂，则2≤－x₂＜－x₁≤7.

因为f(x)在区间[2,7]上是增函数，

所以f(－x₂)＜f(－x₁)．

又因为f(x)是奇函数，所以f(－x₁)＝－f(x₁)，f(－x₂)＝－f(x₂)，

即－f(x₂)＜－f(x₁)，f(x₁)＜f(x₂)．

所以函数f(x)在[－7，－2]上是增函数．

于是其最大值为f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值为f(－7)＝－f(7)＝－10.

点评：奇函数的图象关于原点对称，它们在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数的图象关于y轴对称，它们在关于原点对称的区间上的单调性恰好相反．