Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx．（a∈R）
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=2，利用直线的点斜式方程可求a，b
（Ⅱ）对a进行分类讨论，探讨出f（x）在[1，+∞）上的增减性，通过与特殊值、极值的比较作出解答．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，∵f（1）=0，∴切点为（1，0），带入切线方程2x-y+b=0得出b=-2
又f′（1）=2a-2=2，解得a=2
（Ⅱ）f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x≥1）
（1）当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其与条件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
 （2）当0＜a＜1时，f'（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

在[1，

1

a

）上满足f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其与条件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
（3）当a≥1时，a（1+

1

x2

）≥1+

1

x2

≥

2

x

，f'（x）≥0，此时函数f（x）单调递增，又f（1）=0，所以f（x）≥0．
故实数a的取值范围是a≥1．…（12分）

点评：本题考查会利用导数的几何意义求切线方程，函数的单调性，理解函数恒成立时所取的条件，数形结合的思想方法．