Question

（本小题满分14分）

        设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；

②函数的导数满足”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

   （III）设x₁是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的x₂，x₃，当时，有

Answer 1

（本小题满分14分）

    解：（I）因为，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0。

    所以函数是的集合M中的元素。………………………………3分

   （II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根不妨设，根据题意存在数

        使得等式成立。

        因为

        与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………8分

   （III）不妨设

    又因为为减函数，

所以

所以

    所以

     …………………………14分