Question

已知函数 f(x)=

2x

2x+1

（1）证明：函数f（x）不是偶函数；
（2）试判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的定义即可证明；
（2）设0＜x₁＜x₂，根据增函数的定义只需通过作差证明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：证明：（1）由已知，函数f（x）的定义域为R．
f（-1）=

2-1

2-1+1

=

1

3

，
f（1）

2

2+1

=

2

3

．∴f（-1）≠f（1）
所以函数f（x）不是偶函数．
（2）设x₁，x₂是两个任意实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

因为0＜x₁＜x₂，所以2 x1+1＞0＞0，2 x2+1＞0，2 x2＞2 x1
所以△y＞0，
所以f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．