Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB // CD, AD =CD=1，,，.

（I）求证: 平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer 1

解法一：（１）证明： PA⊥底面ABCD,

平面ABCD,，

∠=，.

又，∴ 平面

 (2)  AB // CD,

∵.∠ADC=60⁰,又AD =CD=1,

为等边三角形,且 AC=1.

取的中点，则，

 PA⊥底面ABCD，平面

过作，垂足为，连，由三垂线定理知.

为二面角的平面角.由.

.

二面角的大小为.  

(3)设点到平面的距离的距离为.

AB // CD,平面平面,平面.

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.  

 .     

解法二

(1)    同解法一; 

(2)    取的中点，则.

又PA⊥底面ABCD,面,

建立空间直角坐标系，如图.则

，

 

设为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，则

，可取；

，可取. 

故所求二面角的大小为.      

(3)    又.  

由（Ⅱ）取平面的一个法向量,

点到平面的距离的距离为：