Question

在曲线y=-x³+2x-1的所有切线中，斜率为正整数的切线有

3

条．

Answer 1

分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，求出切线斜率的取值范围，从而求出斜率为正整数的可能性，得到结论．

解答：解：根据题意得f′（x）=-3x²+2≤2，
在曲线y=-x³+2x-1的所有切线中，斜率为正整数的有k=1，2，
∴斜率为2时，f′（x）=-3x²+2=2，有唯一解，故斜率为2只有一条切线，
斜率为1时，f′（x）=-3x²+2=1，有两解，故斜率为1有两条切线，
故斜率为正整数的切线的条数是3条，
故答案为：3．

点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．