题目内容
【题目】已知抛物线
：
过点
，
为其焦点，过且不垂直于
轴的直线
交抛物线于
，
两点，动点
满足
的垂心为原点
.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：动点在定直线
上，并求
的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析,
的最小值为
【解析】
（1）直接将
代入抛物线方程即可得到答案；
（2）设直线方程为
，联立方程，表示出，运用基本不等式即可得到结论.
（1）由题意，将点代入
，
即
，解得
，
所以，抛物线
的方程为.
（2）解析1：（巧设直线）
证明：设
：，
，
，联立，可得
，则有
，可设
：
，即
，同理
：
，解得
，即动点
在定直线
：
上.
，当且仅当
时取等号.其中
，
分别为点和点
到直线
的距离.
（2）解析2：（利用向量以及同构式）
证明：设：
，，，联立，可得
，则有
.
，
，又
为
的垂心，从而
，代入化简得：
，同理：
，从而可知，
，
是方程
的两根，所以
，所以动点在定直线：上.
，当且仅当
时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.
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