Question

已知动点M到两个定点F₁（-3，0），F₂（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若原点O满足条件，点P是C上不与A、B重合的一点，如果PA、PB的斜率都存在，问k_PA•k_PB是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中，由此能够推导出点M的轨迹方程．
（2）设A（x，y），B（-x，-y）．设P（5cosθ，4sinθ），，，．A在椭圆上，，，由此能够推导出k_PA•k_PB为定值-．
解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
其中，
故点M的轨迹方程为，
（2）设A（x，y），当时，
必有点A、B关于原点O对称，
∴B（-x，-y）．
设P（5cosθ，4sinθ），
则，，
∴．
∵A在椭圆上，∴，∴，
∴，
∴k_PA•k_PB为定值-．
点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．