Question

已知

.

m

=(log2(x+1)，x)，

.

n

=(1，-

1

x

)，设f(x)=

.

m

•

.

n

．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）=

m

•

n

=log₂（x+1）-1，由x+1＞0及-

1

x

有意义，求得f（x）的定义域．
（2）根据当x∈[2，+∞）时，f（x）=log₂（x+1）-1递增，故有f（x）≥f（2），由此可得f（x）的取值范围

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

=log₂（x+1）-1，由x+1＞0及-

1

x

有意义，可得x＞-1且x≠0，
∴f（x）的定义域为{x|x＞-1，x≠0}．
（2）∵对数函数y=log₂x在定义域内单调递增，
∴当x∈[2，+∞）时，f（x）=log₂（x+1）-1递增，
∴f（x）≥f（2）=log₂3-1，
∴f（x）的取值范围为[log₂3-1，+∞）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，利用函数的单调性求函数的值，属于中档题．