题目内容
已知等差数列{an}的公差d＜0，若a3a7=21，a1+a9=10，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是
18
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．分析：根据等差数列的性质，得到a1+a9=a3+a7=10，又a3a7=21，两者联立即可求出a3和a7的值，进而求出数列的首项a1和公差d的值，由a1和d写出等差数列的前n项和Sn，令Sn大于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范围，即可求出解集中的最大正整数n的值．
解答：解：∵数列{an}为等差数列，公差d＜0，a3a7=21，a1+a9=10，
∴a3+a7=a1+a9=10，
可得
得：
，
∴d=
=-1，a1=9，
∴Sn=na1+
d=
，
由Sn=
＞0，得到-n2+19n=-n（n-19）＞0，即n（n-19）＜0，
解得：0＜n＜19，
则使Sn＞0成立的最大正整数n是18．
故答案为：18
∴a3+a7=a1+a9=10，
可得
|
|
∴d=
| a7-a3 |
| 4 |
∴Sn=na1+
| n(n-1) |
| 2 |
| -n2+19n |
| 2 |
由Sn=
| -n2+19n |
| 2 |
解得：0＜n＜19，
则使Sn＞0成立的最大正整数n是18．
故答案为：18
点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．学生在求a3和a7时注意根据d＜0来判断a3和a7的大小．
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