Question

已知非零向量e₁、e₂不共线，如果=e₁+e₂, =2e₁+8e₂, =3e₁-3e₂,求证：A、B、C、D共面.

Answer 1

证明：令λ(e₁+e₂)+μ(2e₁+8e₂)+v(3e₁-3e₂)=0,?

则(λ+2μ+3v)e₁+(λ+8μ-3v)e₂=0.?

∵e₁、e₂不共线,∴?

易知是其中一组解.?

则-5++=0,?

∴A、B、C、D共面.

另证:观察易得+=(2e₁+8e₂)+(3e₁-3e₂)=5e₁+5e₂=5(e₁+e₂)=5.?

∴=+.?

由共面向量知, ,,共面.?

又它们有公共点A,∴A、B、C、D四点共面.

点评：要证四点共面,可先作出从同一点出发的三个向量,由向量共面推知点共面,应注意待定系数法的应用.