Question

设{a_n}是等差数列,证明以b_n=(n∈N^*)为通项公式的数列{b_n}是等差数列.

Answer 1

证法一:设等差数列{a_n}的公差是d(常数),

    ∴b_n-b_n-1=-

    =

    =

    =(a_n-a_n-1)

    =d(常数),其中n≥2.

    ∴{b_n}是等差数列.

证法二:等差数列{a_n}的前n项和S_n=na₁+d,

    ∴b_n=［na₁+d］

    =a₁+=·n+(a₁-).

    ∴{b_n}是等差数列.

讲评:判断或证明数列是等差数列的方法有:

    (1)定义法:a_n+1-a_n=d(常数)(n∈N^*){a_n}是等差数列;

    (2)中项公式法:2a_n+1=a_n+a_n+2(n∈N^*){a_n}是等差数列;

    (3)通项公式法:a_n=kn+b(k、b是常数)(n∈N^*){a_n}是等差数列;

    (4)前n项和公式法:S_n=An²+Bn(A、B是常数)(n∈N^*){a_n}是等差数列.