Question

对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求闭函数y=-x³符合上述条件的区间[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判断f（x）是否为闭函数．

Answer 1

分析：（1）通过y′＜0得出函数y=-x³为减函数．进而通过函数的最值，求出a，b的值．
（2）通过f′（x）≥0和f′（x）≤0，分别求出x的取值范围，看是不是符合题设的要求．符合即为闭函数．不符合则不是．

解答：解：（1）∵y=-x³，∴y′=-3x²≤0．
∴函数y=-x³为减函数．
故

f(a)=b f(b)=a

即

-3a3=b -3b3=a.

∴

a=-1 b=-1.

所求闭区间为[-1，1]．
（2）f′（x）=3x²-6x-9．
由f′（x）≥0，得x≥3或x≤-1．
由f′（x）≤0，得-1≤x≤3．
∴f（x）在定义域内不是单调函数．
故f（x）不是闭函数．

点评：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力．这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力．