Question

已知函数f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0）的图象经过两点A（0，1）和B（

3

，2-

3

）．
（I）求f（x）的表达式及值域；
（II）给出两个命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：log₂（m-1）＜1．问是否存在实数m，使得复合命题“p且q”为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用函数图象经过的点，列出方程组，求出a，b的值，即可求得f（x）的表达式，利用函数的变形与函数的单调性求解函数的值域；
（II）通过函数的单调性求出命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）中m的范围；利用对数的基本性质求出命题q：log₂（m-1）＜1．中m是范围，利用复合命题“p且q”为真命题，求出m的取值范围；

解答：解：（1）由题意知

f(0)=b=1 f( 3 )=a 3 +2b=2- 3

，解得

a=-1 b=1

，
故f(x)=

1+x2

-x，
由于f(x)=

1+x2

-x=

1

1+x2+x

在[0，+∞）上递减，所以f（x）的值域为（0，1]．
（2）复合命题“p且q”为真命题，即p，q同为真命题．因为f（x）在[0，+∞）上递减，
故p真?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
q真?0＜m-1＜2?1＜m＜3，
故存在m∈[

4

3

，2)∪(2，3)满足复合命题p且q为真命题．

点评：本题考查复合函数的单调性与复合命题的真假的判断，函数解析式的求法，考查计算能力．