Question

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）是f（x）的导数．函数y=f′（x）的图象如图所示．若两个正数x，y满足f（x+y）＜1，则

y

x+1

的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、[0，1）
• C、[0，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：由图象得f（x）在R上单调递增，f（x+y）＜1=f（1），可以利用函数的单调性得到0＜x+y＜1，解出0＜y＜1-x，从而解出

y

1+x

的取值范围．值得注意的是：本题为选择题，可以利用排除法，解题速度更快，因为x＞0，y＞0，所以

y

1+x

≠0，故排除B、C，对于选项D，根据题意令x=

1

2

，y=

1

3

，验证一下，即可排除D，故选A．

解答：解：由图象可以得到，f（x）在R上单调递增，
∵x＞0，y＞0，f（x+y）＜1=f（1），
∴0＜x+y＜1，∴0＜y＜1-x．
即0＜

y

1+x

＜

1-x

1+x

=1-

2x

1+x

＜1，
故选A．

点评：本题比较简单，主要考查利用导数研究函数的单调性这一函数知识．