Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=

2

a，AC=BC=a，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D为AB的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面ABC；
（2）求PC与平面ABC所成的角的余弦值大小．

Answer 1

分析：（1）先根据D为AB的中点，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可证AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（2）由（1）知，点P在平面ABC上的射影在直线DC上，所以∠PCD为所求角．在△PCD中，利用余弦定理可求．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，∵D为AB的中点，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（2）由（1）知，点P在平面ABC上的射影在直线DC上，所以∠PCD为所求角．
在△PCD中PD=

6 a

2

，PC=

3

a，CD=

2

2

a．由余弦定理得：cos∠PCD=

6

3

点评：本题以三棱锥为载体，主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面角的度量，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．