Question

已知函数f(x)=

1- 1 x ， x≥1 1 x -1， 0＜x＜1

（1）求证：f（x）在[1，+∞）上为增函数；   
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性即可证明；
（2）画出图象即可求出．

解答：解：（1）设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∴

x1-x2

x1x2

＜0∴f(x1)＜f(x2)，
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）∵0＜a＜b，且f（a）=f（b）
由图可知：0＜a＜1＜b，
∴f(a)=

1

a

-1，f(b)=1-

1

b

，
由f（a）=f（b）得

1

a

-1=1-

1

b

，
∴

1

a

+

1

b

=2．

点评：熟练掌握函数的单调性和正确画出图象是解题的关键．