题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+3ax(a∈R)，
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且1＜
x2
x1
≤3，求实数a的取值范围．
分析：（1）利用导数求函数f（x）的单调递增区间，先求导数，再令导数大于0，解出x的范围即可．
（2）根据函数f（x）在x=x1和x=x2处取得极值，可判断x1和x=x2处为方程x2-2ax+3a=0的两根，就可列出a，b的不等关系，再利用条件：“1＜
x2
x1
≤3”结合根与系数的关系建立关于a另一个不等式．两者结合即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=
1
3
x3+x2-3x，
∴f'（x）=x2+2x-3，（2分）
令f'（x）＞0，即x2+2x-3＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），（-∞，-3）；（5分）
（2）函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且f'（x）=x2-2ax+3a
∴x1和x2为方程x2-2ax+3a=0的两根，
∴
△＞0
x1+x2=2a
x1x2=3a
，由△＞0得4a2-12a＞0，∴a＞3或a＜0，①
∴
x2
x1
+
x1
x2
=
x
2
1
+
x
2
2
x1x2
=
(x
 
1
+
x
 
2
) 2-2x1x2
x1x2
=
4a2-6a
3a
=
4a
3
-2
设t=
x2
x1
，且1＜
x2
x1
≤3，∴1＜t≤3．
∴
x2
x1
+
x1
x2
=t+
1
t
，此函数在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
∴2＜
x2
x1
+
x1
x2
≤
10
3
，∴2＜
4a
3
-2≤
10
3
，⇒3＜a≤4②
由①②实数a的取值范围3＜a≤4．
点评：本题考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系、利用导数求函数的单调区间和极值，属于导数的应用，应当掌握．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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