Question

（2011•河北区一模）已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据它的周期为π求得ω的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，根据x∈[-

π

12

，

π

2

]及正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．…（4分）
∵函数f（x）的最小正周期为π，ω＞0，∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．…（8分）
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取最大值

3

2

；…（10分）
当2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

时，f（x）取最小值

1- 3

2

．…（12分）
∴函数f（x）的值域为[

1- 3

2

，

3

2

]．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．