Question

设F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的渐近线方程为

 

．

Answer 1

分析：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．由双曲线定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，联立解得

|PF1|=4a |PF2|=2a

．由于4a＞2a，|F₁F₂|=2c＞2a．可知∠PF₁F₂是最小角，因此∠PF1F2=30°．由余弦定理可得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos30°，化为c2-2

3

ac+3a2=0，解得e=

3

．再利用

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b

a

即可．

解答：解：如图所示，
不妨设点P在双曲线的右支上．
则|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，
联立解得

|PF1|=4a |PF2|=2a

．
∵4a＞2a，|F₁F₂|=2c＞2a．
∴∠PF₁F₂是最小角，因此∠PF1F2=30°．
由余弦定理可得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×2c•cos30°，
化为c2-2

3

ac+3a2=0，
∴e2-2

3

e+3=0，
解得e=

3

．
∴

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，
解得

b

a

=

2

．
∴渐近线方程为y=±

2

x．
故答案为：y=±

2

x．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形的边角大小关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．