Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由最小正周期T=

2π

|ω|

可得到答案．
（2）先根据余弦定理表示出cosB，再将b²=ac代入运用基本不等式的内容可确定cosB的范围，进入可确定B的范围，然后将B代入函数f（x）中，根据B的范围求出f（B）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=sinxcosx+

3

•cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

•

1+cos2x

2

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

）．
∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得，cosB=

a2+c2-ac

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，∴

1

2

≤cosB＜1，
而0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．函数f（B）=sin（2B+

π

3

），
∵

π

3

＜2B+

π

3

≤π，当2B+

π

3

=

π

2

，
即B=

π

12

时，f（B）_max=1．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式的应用和余弦定理的表达式的应用．考查基础知识的综合应用．三角函数的内容公式比较多，不容易记，一定要强化记忆并能熟练应用．