Question

已知函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值和最小值及取得最大最小值时对应x的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为

2

sin（2x+

π

4

），由此求得函数的最小正周期．
（2）根据x的范围求得2x+

π

4

的范围，从而求得sin（2x+

π

4

）的范围，可得函数f（x）的最值，以及取得最大最小值时对应x的值．

解答：解：（1）函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），故函数的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）∵

π

8

≤x≤

3π

4

，∴

π

2

≤2x+

π

4

≤

7π

4

，∴-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，∴-

2

≤f（x）≤

2

．
当2x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

8

时，函数f（x）取得最小值为-

2

，当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，函数f（x）取得最大值为

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．