Question

已知函数f(x)＝

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈［１，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2,在区间［1,＋∞)上任取x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)(1－)<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在区间［1,＋∞)上为增函数． ∴f(x)在区间［1,＋∞］上的最小值为f(1)＝． (2)对任意x∈［1,＋∞］，f(x)＝ >0恒成立x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a,x∈［1,＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1,抛物线开口向上，顶点坐标为(－1,a－1), ∴在区间［１,＋∞)上，y＝x2＋2x＋a是单调递增的, ∴当x＝1时，ymin＝3＋a,于是当且仅当ymin＝3＋a>0时,函数f(x)>0恒成立，故a>－3．