题目内容
如图，已知椭圆E1方程为
，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C． （Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】分析：（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），利用中点坐标公式即可得出点B的坐标，再代入椭圆的方程即可得到a，b的关系，再利用斜率计算公式
即可得出；
（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，即已知|BA|+|BF2|=2a，即可得出|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，可得点B的横坐标，再利用斜率计算公式得到b，a的关系，把点B的横坐标代入椭圆的方程即可得到纵坐标，再利用斜率计算公式即可得出k1．
（III）直线BD过定点（a，0）．设P（a，0），B（xB，yB），则点B的坐标满足椭圆方程．利用斜率计算公式可得kAD•kPB=
=
，只要证明kAD•kPB=-1，而PD⊥AD，即可得到三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．
解答：解：（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B
，
由点B在椭圆上，得
，化为
，
∴
．
（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，又|BA|+|BF2|=2a，
∴|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，
∴
，
又
，∴
，
，
∴
，代入椭圆方程得
=
，
∴
=
．
（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（xB，yB），则
（a＞b＞0）．
则kAD•kPB=
=
=
=
．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、中点坐标公式、线段的垂直平分线、圆的性质、相互垂直的直线的斜率关系、三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力、计算能力．
即可得出；（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，即已知|BA|+|BF2|=2a，即可得出|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，可得点B的横坐标，再利用斜率计算公式得到b，a的关系，把点B的横坐标代入椭圆的方程即可得到纵坐标，再利用斜率计算公式即可得出k1．
（III）直线BD过定点（a，0）．设P（a，0），B（xB，yB），则点B的坐标满足椭圆方程．利用斜率计算公式可得kAD•kPB=
=，只要证明kAD•kPB=-1，而PD⊥AD，即可得到三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．解答：解：（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B
，由点B在椭圆上，得
，化为，∴
．（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，又|BA|+|BF2|=2a，
∴|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，
∴
，又
，∴，，∴
，代入椭圆方程得=，∴
=．（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（xB，yB），则
（a＞b＞0）．则kAD•kPB=
===．∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、中点坐标公式、线段的垂直平分线、圆的性质、相互垂直的直线的斜率关系、三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力、计算能力．
练习册系列答案
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如图，已知椭圆E1方程为
的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
作直线
，使
，又
交于点
，设
、
.
与
，且双曲线的焦距为
，求椭圆
的最大值. 
，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C． 
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
的方程为
，
是它的下顶点，
是右焦点，
的延长线与椭圆及其右准线分别相交于
两点，若点
恰好为
中点，则此椭圆的离心率为__________