Question

【题目】函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，时，恒成立，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】

（1）对求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断的正负，进而判断的单调性；（2）代入，将不等式中的和分离在不等号两边，然后讨论不等号含有一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算的取值范围，由是正整数的条件可求出的最大值.

解：（1）函数的定义域为，

①当时，因为，故有.

此时函数在区间单调递减.

②当，有，方程的两根分别是：

函数在上单调递减；

当函数在上单调递增；

当函数在上单调递减.

③当时，易知在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，

在上单调递增；

当时，在上单调递增，在单调递减.

（2）当

设

当时，有，

设

在上单调递增，

又在上的函数图像是一条不间断的曲线，

且，

存在唯一的，使得，即.

当；

当，

在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，

，

时，不等式对任意恒成立，

正整数的最大值是3.