题目内容
已知函数f(x)=1－
的定义域为［－5,0］,它的反函数为y=f－1(x),且点P(－2,－4)在y=f－1(x)的图象上.(1)求实数a的值,并求y=f－1(x)；
(2)证明函数与反函数在其定义域上递减.
(1)解:由已知P′(－4,－2)在函数f(x)=1－的图象上,即－2=1－
,解得a=－1.
由－5≤x≤0得0≤－x2+25≤25,则－4≤1－
≤1.
∴函数f(x)=1－
的值域为［－4,1］.
由y=1－
及－5≤x≤0,解得x=－
.
∴f－1(x)=－
,x∈［4,1］.
(2)证明:设－5≤x1≤x2≤0,即x1－x2<0,x1+x2<0,
f(x1)－f(x2)=(1－
)－(1－
)
=
－
=
>0,
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)=1－
在定义域［－5,0］上递减.
设－4≤x1≤x2≤1,则x2－x1>0,2－x1－x2>0,
f－1(x1)－f－1(x2)
=［－
］－［－
］
=
－
=
>0,
即f－1(x1)>f－1(x2).
因此f－1(x)=－
在［－4,1］上递减.
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