Question

（2013•天津）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）证明：平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A₁CD，只需证明EF∥DA₁即可；
（II）欲证平面平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A₁ABB₁，再根据面面垂直的判定定理得证；
（III）先过B作BG⊥AD交A₁D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A₁CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

解答：证明：（I）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，连接ED，
可得DE∥AC，DE=

1

2

AC，又F为棱A₁C₁的中点．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，
所以A₁DEF是平行四边形，所以EF∥DA₁，
DA₁?平面A₁CD，EF?平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD
（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD?面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（III）过B作BG⊥A₁D交A₁D于G，
∵平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁CD∩平面A₁ABB₁=A₁D，
BG⊥A₁D，
∴BG⊥面A₁CD，
则∠BCG为所求的角，
设棱长为a，可得A₁D=

5

2

a，由△A₁AD∽△BGD，得BG=

5

5

a，
在直角△BGC中，sin∠BCG=

BG

BC

=

5

5

，
∴直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值

5

5

．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．