Question

【题目】已知函数 ．

（1）当a=1时，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I） （II）

【解析】试题分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．

（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

试题解析：解：（I）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）已知函数．

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立．

设．

即g（x）的最大值小于0.

（1）当时，，

∴为减函数．

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1时，．

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．

（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值围是．