题目内容

在△ABC中，AB=3，AC边上的中线BD= $数学公式$ ， $数学公式$ • $数学公式$ =5．
（1）求AC的长；
（2）求sin（2A-B）的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =5，AB=3，AC=2AD．
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |²，
∴AD=1，AC=2．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．可得cosA= $\text{[math]}$ ，∴sinA= $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，∴BC= $\text{[math]}$ ．
在△ABC中， $\text{[math]}$ 可得sinB= $\text{[math]}$ ，∴cosB= $\text{[math]}$ ．
sin（2A-B）=sin2A•cosB-cos2A•sinB=2sinA•cosA•cosB-（1-2sin²A）•sinB
=2× $\text{[math]}$ -（1-2× $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =5， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用平方求出AD，再求AC的长；
（2）通过数量积、正弦、余弦定理，求出cosA、sinA、sinB、cosB，把sin（2A-B）展开求出它的值．
点评：本题主要考查了正、余弦定理与解斜三角形，平面向量数量积的运算，考查计算能力，是中档题．