Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2，BC=3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求四棱锥B-AA₁C₁D的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证AB₁∥平面BC₁D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB₁与平面BC₁D内一直线平行，连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB₁，OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA₁C₁C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE求出四棱锥B-AA₁C₁D的体积即可．

解答：解：
（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁．（3分）
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，（8分）
∵AB=BB₁=2，BC=3，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4+9

=

13

，BE=

AB•BC

AC

=

6

13

，（10分）
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE（12分）=

1

6

×

3

2

13

×2×

6

13

=3．
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．