Question

【题目】已知向量 ，函数 ，若函数f（x）图象的两个相邻的对称轴间的距离为 ．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC满足f（A）=1，a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 ，

则函数

=2 sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1

= sin2ωx+cos2ωx

=2sin（2ωx+ ），

由函数f（x）图象的两个相邻的对称轴间的距离为 ，

T=π= ，解得ω=1；

∴f（x）=2sin（2x+ ），

令﹣ +2kπ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调增区间为[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：△ABC满足f（A）=1，

∴2sin（2A+ ）=1，

由0＜A＜π，得 ＜2A+ ＜ ，

∴2A+ = ，解得A= ；

由a=3，得| |=| ﹣ |=a=3①，

由BC边上的中线长为3，得| + |=6②；

由①②组成方程组，解得 = ，

∴| || |= ，

∴△ABC的面积为S= | || |sin =

【解析】（1）根据平面向量数量积的运算和三角恒等变换化f（x）为正弦型函数；根据对称轴求出周期和ω，写出解析式，求出函数f（x）的单调增区间；（2）根据f（A）=1求出A的值，再由a=| |=3，BC边上的中线长得| + |=6；求出 的值，从而求出| || |的值，即可求出△ABC的面积．