Question

已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围

m≤-1

．

Answer 1

分析：问题等价于|x+1|+|x-2|-m≥4对任意x恒成立，只需m≤|x+1|+|x-2|-4，y=|x+1|+|x-2|-4表示数轴上的点到点-1，2的距离之和再减掉4，由绝对值的意义可得．

解答：解：关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，等价于|x+1|+|x-2|-m≥4对任意x恒成立，
变形可得m≤|x+1|+|x-2|-4，只需求函数y=|x+1|+|x-2|-4的最小值即可，
由绝对值的几何意义可知：y=|x+1|+|x-2|-4表示数轴上的点到点-1，2的距离之和再减掉4，
故可得y=|x+1|+|x-2|-4的最小值为y=3-4=-1，故只需m≤-1
故答案为：m≤-1

点评：本题考查绝对值不等式的意义，涉及对数函数的应用，属中档题．