Question

已知函数（0＜φ＜π）
（Ⅰ）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象．
（Ⅱ）若f（x）偶函数，求φ
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π]的单调递减区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，=+cos2x-cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=，
列表：

2x+			π		2π
x	0					π
y	1	2	0	-2	0	1

故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象是：
（6分）
（Ⅱ）=，…（8分）
因为f（x）为偶函数，则y轴是f（x）图象的对称轴，
所以=1，则，即．
又因为0＜φ＜π，故 ． …（11分）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，f（x）=2sin（2x+）=cos2x，
故将f（x）的图象向右平移个单位，可得函数f（x-）的图象，再把所得的图象上各个点的横坐标变为原来的4倍，
可得函数g（x）=f（-）的图象，故g（x）=f（-）=2cos（-）．
令 2kπ≤-≤2kπ+π，k∈z，解得 4kπ+≤x≤2kπ+，
故g（x）的 单调减区间为[4kπ+，2kπ+]，k∈z．
分析：（Ⅰ）当时，化简函数f（x）的解析式，用五点法作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．
（Ⅱ）因为f（x）为偶函数，则y轴是f（x）图象的对称轴，求出=1，再根据φ的范围，求得φ的值．
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，求得g（x）=f（-）=2cos（-）．令2kπ≤-≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，即可求得g（x）的单调减区间．
点评：本题主要考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，求函数y=Asin（ωx+∅）的单调区间，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．