Question

设x₁、x₂是函数f(x)=x³+x²-a²x(a＞0)的两个极值点，且

(Ⅰ)求证：0＜a≤1；

(Ⅱ)求证:；

(Ⅲ)若函数h(x)=(x)-2a(x-x₁).求证：当x₁＜x＜2且x₁＜0时，

Answer 1

（Ⅰ）证明：(x)=ax²+bx-a²,

∵x₁、x₂是函数f(x)=-a²x(a＞0)的两个极值点，∴x₁、x₂是ax²+bx-a²=0的两个根，于是x₁+x₂=-,x₁·x₂=-a

又∵a＞0,∴x₁·x₂=-a＜0,

∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=,

即:+4a=4  ∴b²=4a²-4a³≥0,∴0＜a≤1 

(Ⅱ)证明：设g(a)=4a²-4a³,

则(a)=8a-12a²=4a(2-3a),

当0＜a＜时,(a)＞0,∴g(a)在(0,)上是增函数;

当＜a≤1时，(a)＜0,g(a)在上是减函数,

∴g(a)_max=g,∴|b|≤ 

(Ⅲ)∵x₁、x₂是(x)=0的两根,

∴(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

∴h(x)=a(x-x₁)(x-x₂)-2a(x-x₁)

=a(x-x₁)(x-x₂-2).

∴|h(x)|=a|x-x₁||x-x₂-2|

≤a()². 

∵x＞x₁,∴|x-x₁|=x-x₁;

又x₁＜0,x₁x₂＜0,∴x₂＞0,即x₂+2＞2,

而x＜2,∴x-x₂-2＜0,∴|x-x₂-2|=x₂-x+2

则|x-x₁|+|x-x₂-2|=x₂-x₁+2=|x₁|+|x₂|+2=4

故|h(x)|≤4a