Question

已知函数f(x)=

1

2x-1

+

1

2

（1）求f（x）的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明．

Answer 1

分析：（1）要使函数f(x)=

1

2x-1

+

1

2

的解析式有意义，则2^x-1≠0，解不等式可求出函数的解析式；
（2）根据函数的定义域关于原点对称，分析f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．

解答：解：（1）要使函数f(x)=

1

2x-1

+

1

2

的解析式有意义
则2^x-1≠0
即x≠0
∴f（x）的定义域为{x|x≠0}…（4分）
（2）函数f（x）为奇函数．                                     …（6分）
证明如下：f(-x)=

1

2-x-1

+

1

2

=

2x

1-2x

+

1

2

=-

(2x-1)+1

2x-1

+

1

2

=-

1

2x-1

-

1

2

=-f（x）…（12分）
故函数f（x）为奇函数．                       …（13分）
（或者利用：f(-x)+f(x)=

1

2-x-1

+

1

2

+

1

2x-1

+

1

2

=

2x

1-2x

+

1

2x-1

+1=0也可．）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域及奇偶性判断，熟练掌握函数奇偶性的定义及判定方法是解答的关键．