Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1），
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设cn=

2bn

an•an+1

，①求数列{c_n}的最大值．②求

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，利用等比数列的定义，直接求出a_n+1=2（a_n-1+1），即可求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）利用（1）直接求数列{a_n}的通项公式a_n，然后求出{b_n}的通项公式b_n；
（3）通过cn=

2bn

an•an+1

，求出表达式，①说明数列的递减数列即可求数列{c_n}的最大值．
②通过裂项法求出c₁+c₂+…+c_n的值，然后求出它的极限．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．   （6分）
（2）由（1）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
（3）cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

①

cn+1-cn= 2n+1 (2n+1-1)(2n+2-1) - 2n (2n-1)(2n+1-1) = -2×4n-2n (2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1) ＜0

∴数列{c_n}单调递减．（12分）
∴①n=1时数列{c_n}的最大值为c1=

2

3

．（14分）
②由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，（16分）
所以c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2n+1-1

．∴

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）=1．（18分）

点评：本题是综合题，考查数列的基本性质，等比数列的证明，通项公式的求法，数列的单调性，数列求和的极限，考查计算能力，注意解题方法的应用．