Question

1．已知关于x的不等式x²-ax+b＞0（a，b∈R）的解集为{x|x＞2或x＜1}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=a$\sqrt{x-1}$+b$\sqrt{2-x}$的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过不等式的解集可知方程x²-ax+b=0的两个根为1和2，计算即可；
（Ⅱ）通过（Ⅰ），利用柯西不等式即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，方程x²-ax+b=0的两个根为1和2，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{1+2=a}\\{1×2=b}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$f（x）=3\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}$（1≤x≤2），
由柯西不等式得，${f^2}（x）={（{3\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}}）^2}$≤（3²+2²）（x-1+2-x）=13，
∴$f（x）≤\sqrt{13}$（当且仅当$\frac{3}{2}=\frac{{\sqrt{x-1}}}{{\sqrt{2-x}}}$，即$x=\frac{22}{13}$时，取得等号），
∴当$x=\frac{22}{13}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{13}$．

点评 本题是一道关于不等式方程、函数最值、柯西不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．