Question

已知A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，其中a₁＜a₂＜a₃＜a₄，a₁，a₂，a₃，a₄∈N^*，若A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，且A∪B所有元素和为124，求集合A和B．

Answer 1

解：由a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A∩B={a₁，a₄}，可知a₁=a₁²，∴a₁=1
∵a₁+a₄=10，∴a₄=9，
若a₂²=9，a₂=3，则有（1+3+a₃+9）+（a₃²+81）=124
解得a₃=5，（a₃=-6舍去）
∴A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
若a₃²=9，a₃=3，此时只能有a₂=2，
则A∪B中所有元素和为：1+2+3+4+9+81≠124，
∴不合题意．
于是，A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
分析：先由a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A∩B={a₁，a₄}得a₁=a₁²?a₁=1；再代入条件求出a₄=9，然后代入集合B验证看哪个为9时符合要求，即可求出集合A和B．
点评：本题的关键点在于先利用条件求出a₁和a₄，只要这个问题解决，下面就只剩下讨论了．属于中档题．