题目内容

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为 $数学公式$ ，则k=

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
±1

A
分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r的值，由圆A上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为2 $\text{[math]}$ ，则圆心A到直线l的距离等于r-2 $\text{[math]}$ ，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值．
解答：

解：把圆x²+y²-4x-4y-10=0化为标准方程得：（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圆心A的坐标为（2，2），半径r=3 $\text{[math]}$ ，又直线l的方程为y=kx，根据题意画出图形得：
根据圆上有三不同点到直线l：y=kx的距离为2 $\text{[math]}$ ，得到圆心A到直线l的距离d= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得 k=2+ $\text{[math]}$ ，或k=2- $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两角和与差的正切函数公式，利用了转化及数形结合的思想，其中根据题意得出圆心到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，是解本题的关键，属于中档题．