Question

已知函数f（x）=log_a（3-ax）．
（1）当x∈[0，

3

2

]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，即要考虑到当x∈[0，

3

2

]时，3-ax＞0恒成立，转化成恒成立问题，利用复合函数的单调性即可求出实数a的取值范围；
（2）假设存在这样的实数，再根据f（x）是增函数，并且f（x）的最大值为1，即可求出a的值．

解答：解：（1）设t=3-ax，
∵a＞0，且a≠1，则t=3-ax为R上的减函数，
∴x∈[0，

3

2

]时，t的最小值为3-

3

2

a，
又∵当x∈[0，

3

2

]，f（x）恒有意义，即t＞0对x∈[0，

3

2

]恒成立，
∴t_min＞0，即3-

3

2

a＞0，
∴a＜2，又a＞0，且a≠1，
∴实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2）．
（2）令t=3-ax，则y=log_at，
∵a＞0，则函数t（x）为R上的减函数，
又∵f（x）在区间[2，3]上为增函数，
∴y=log_at为减函数，
∴0＜a＜1，
∴当x∈[2，3]时，t（x）最小值为3-3a，即此时f（x）最大值为log_a（3-3a），
由题意可知，f（x）的最大值为1，
∴log_a（3-3a）=1，
∴

3-3a＞0 loga(3-3a)=1

，即

a＜1 a= 3 4

，
∴a=

3

4

，
故存在实数a=

3

4

，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论．属于基础题．