Question

（2012•安庆二模）已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且an=2

Sn

-1，n∈N^*，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

2

的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=2

Sn

-1，知Sn=

1

4

(an+1)2，由此能够证明数列{a_n}是等差数列．并求出a_n．
（Ⅱ）bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2-

1

2n-1

，cn=(2n-1)(2-

1

2n-1

)=2(2n-1)-

2n-1

2n-1

，先求数列{

2n-1

2n-1

}的前n项和A_n．由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：（本题满分12分）
解（Ⅰ）∵an=2

Sn

-1，
∴Sn=

1

4

(an+1)2
当n≥2，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2
=

1

4

(an2+2an-an-12-2an-1)
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
故数列{a_n}是等差数列．且a_n=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2-

1

2n-1

…（6分）
∴cn=(2n-1)(2-

1

2n-1

)=2(2n-1)-

2n-1

2n-1

…（7分）
先求数列{

2n-1

2n-1

}的前n项和A_n．
∵

A

n

=1+

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n-1

2n-1

1 2 An= 1 2 + 3 22 + 5 23 +…+ 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n ∴ 1 2 An=1+ 2 2 + 2 22 + 2 23 +…+ 2 2n-1 - 2n-1 2n

，

1

2

A_n=3-

2n+3

2n

，
∴An=6-

2n+3

2n-1

，
∴Tn=2n2+

2n+3

2n-1

-6．…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，求数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和错位相减法的合理运用．