题目内容
在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，点N是△ABC内部或边上一点，则
•
的最大值为（ ）
| AM |
| AN |
| A、9 | ||
| B、16 | ||
| C、25 | ||
D、
|
分析：由题意，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，由AM⊥BC于M可得|
|=
，
•
=0，联立可得M的坐标，由点N（x，y）是△ABC内部或边上一点可得
•
=
，
从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC）内最大值问题．
| AM |
| 12 |
| 5 |
| A M |
| BC |
|
| AM |
| AN |
| 48x+36y |
| 25 |
从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC）内最大值问题．
解答：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC为直角三角形，AB⊥AC以A为原点，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，
则A（0，0），B（3，0），C（0，4），设M（a，b） （a，b＞0） N（x，y）
则由点N是△ABC内部或边上一点可得，
则
= (-3，4)，
=(a，b)，|
|=
由AM⊥BC于M可知
•
=0，|
|=
可得
b=
，a =
令Z=
•
=
，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z在平面区域△ABC内的最大值
利用线性规划知识可得当过边界BC时将取得最大值，此时Z=
故选 D
则A（0，0），B（3，0），C（0，4），设M（a，b） （a，b＞0） N（x，y）
则由点N是△ABC内部或边上一点可得，
|
则
| BC |
| AM |
| AM |
| 12 |
| 5 |
由AM⊥BC于M可知
| AM |
| BC |
| AM |
| 12 |
| 5 |
b=
| 36 |
| 25 |
| 48 |
| 25 |
令Z=
| AM |
| AN |
| 48x+36y |
| 25 |
利用线性规划知识可得当过边界BC时将取得最大值，此时Z=
| 144 |
| 25 |
故选 D
点评：此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题，突破难点的关键要看到两点①点N是△ABC内部或边上一点?
②
•
=
．
|
| AM |
| AN |
| 48x+36y |
| 25 |
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