Question

如图，椭圆经过点（0，1），离心率．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．
解答：解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1．
所以，椭圆C的方程是；
（2）由
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则A′（x₁，-y₁）．
且．
经过点A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直线方程为．
令y=0，则
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴当y=0时，
这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．