Question

（1）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分条件？
（2）函数f（x）=|2^x-1|-2m有两个零点，则m应满足的充要条件？

Answer 1

分析：（1）求出不等式对应的等价条件，利用充分条件的定义即可得到结论．（2）求出函数由两个零点的等价条件即可求出函数的充要条件．

解答：解：（1）由2x+m＜0得x＜-

m

2

，
由x²-2x-3＞0得x＞3或x＜-1，
要使x＜-

m

2

是x＞3或x＜-1的充分条件，
则-

m

2

≤-1，即m≥2．
（2）由f（x）=|2^x-1|-2m=0得|2^x-1|=2m，
作出函数y=|2^x-1|的图象如图：，
由图象可知要使|2^x-1|=2m有两个根，
则满足0＜2m＜1，
即0＜m＜

1

2

，
∴f（x）=|2^x-1|-2m有两个零点的充要条件是0＜m＜

1

2

．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，利用不等式的解法以及函数的图象和性质是解决本题的关键．