Question

已知函数f（x）=

1 x -1，0＜x＜1 1- 1 x ，x＞1

．
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（Ⅱ）若存在实数a，b（1＜a＜b），使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当0＜a＜b，利用f（a）=f（b），直接求

1

a

+

1

b

的值；
（Ⅱ）通过1＜a＜b，使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），判断函数的单调性，利用函数是值域，列出关系式，得到a，b是方程的两个根，然后求实数m的取值范围．

解答：解：（ I）由0＜a＜b且f（a）=f（b）可得0＜a＜1＜b；
则f(a)=

1

a

-1，f(b)=1-

1

b

∴

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2…（5分）
（ II）∵1＜a＜b，ma＜mb，
∴m＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，…（6分）
∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，∴

ma2-a+1=0 mb2-b+1=0

，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两根，…（8分）
且关于x的方程mx²-x+1=0由两个大于1的不等实数根，设两个根为x₁，x₂，则
x1+x2=

1

m

，x1•x2=

1

m

，
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

⇒

1-4m＞0 1 m -2＞0

，…（10分）
∴0＜m＜

1

4

…（12分）

点评：本题考查函数与方程的思想的应用，函数的值域以及函数的零点，考查分析问题解决问题的能力．