Question

已知函数f(x)=(log3

x

27

)(log33x)
（1）若x∈[

1

27

，

1

9

]，求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求α•β的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）计算化简得出f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1），令log₃x=t，转化为二次函数解决．
（2）结合（1）即为方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的两解为α，β，得出log₃α+log₃β=2，再求出α•β．

解答：解：（1）根据对数的运算性质得出
f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）
令log₃x=t，t∈[-3，-2]
则g（t）=t²-2t-3，t∈[-3，-2]
g（t）对称轴t=1

∴fmax(x)=g(-3)=12    fmin(x)=g(-2)=5

（2）即方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的两解为α，β
∴log₃α+log₃β=2

∴log3α•β=2 ∴α•β=9

点评：本题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，对数的运算等知识，换元的思想方法．