Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=，f（2）=．
（1）求a、b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知条件代入得到关于a，b的方程组，两式相除可得a，把a代入其中一式可得b；
（2）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）的关系；
（3）利用的单调性定义来证明：设元，作差，变形，判号，下结论．
解答：解：（1）由已知得：，解得．
（2）由（1）知：f（x）=2^x+2^-x．任取x∈R，则f（-x）=2^-x+2^-（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数．
（3）函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．
证明：设x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=（）+（）=
∵x₁＜x₂＜0，∴0＜＜＜1，∴＞0，，∴-＜0，，∴-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性、单调性等，注意单调性证明变形要彻底，奇偶性的证明首先判断函数的定义域是否关开原点对称．