Question

（2006•朝阳区一模）已知矩形ABCD中，AB=

2

，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．
（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；
（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知点A在平面BCD内的射影落在DC上，所以平面ADC过平面BCD的垂线，所以平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）点C到平面ABD的距离，可以利用等积法求解，即由V_C-ABD=V_D-ABC求解；
（Ⅲ）由题意可得平面ABC和平面ABD垂直，然后过E作AB的垂线，由垂足作AC的垂线连接E和垂足可得二面角的平面角，然后通过解直角三角形得结论．
该题直接用空间向量解决过程更为简洁，分析如下：
（Ⅰ）以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系，
求出平面ADC的一个法向量，直接看出品面BDC的一个法向量，由两个法向量的数量积等于0证明两个平面垂直；
（Ⅱ）求出平面ABD的一个法向量，连接C与平面ABD上一点，得到一个向量，利用空间向量求距离的公式求解；
（Ⅲ）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，由两法向量所成的角求解二面角的大小．

解答：方法1：
（I）证明：依条件可知DA⊥AB①
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线
∴平面ACD⊥平面BCD
（II）解：由（I）结论知平面ADC⊥平面BCD．
依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD
∵DC?平面ACD，∴BC⊥DA  ②
∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC
设求点C到平面ABD的距离为d，
于是V_C-ABD=V_D-ABC．
∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高．
∴由V_C-ABD=V_D-ABC，得

1

3

dS△ABD=

1

3

DAS△ABC．
解得d=

2

2

．
即点C到平面ABD的距离为

2

2

．
（III）解：由（II）中结论可知DA⊥平面ABC，
又∵DA?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC
过E作EF⊥AB，垂足为F，∴EF⊥平面ABC．
过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，

∴EG⊥AC
∴∠EGF是所求二面角的平面角．  
∵DA⊥AB，EF⊥AB，
又点E、F分别是所在边的中点，
∴EF=

1

2

DA=

1

2

同理FG=

1

2

BC=

1

2

∵在△AEC中，AE=EC=

3

2

，且EG⊥AC
∴EG=

2

2

在△EFG中容易求出∠EGF=45°．
即二面角B-AC-E的大小是45° 
方法2：
（I）证明：
如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系．

所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，-

2

，0）
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，∴点A的坐标为A(0，-

2

2

，

2

2

)．
∵

n1

=(0，-

2

2

，

2

2

)是平面BCD的一个法向量．
而

CB

=（1，0，0）是平面ADC的一个法向量．
∵

n1

•

CB

=（0，-

2

2

，

2

2

）•（1，0，0）=0
∴平面ACD⊥平面BCD． 
（II）解：设点C到平面ABD的距离为d
∵

AC

=(0，

2

2

，-

2

2

)，

AB

=(1，

2

2

，-

2

2

)，

AD

=(0，-

2

2

，-

2

2

)
设平面ABD的一个法向量为

n2

=(x，y，z)
由

n2 • AB =0 n2 • AD =0

，得

x+ 2 2 y- 2 2 z=0 - 2 2 y- 2 2 z=0

，取z=-1，得y=1，x=-

2

．
∴

n2

=(-

2

，1，-1)．
∴d=||

AC

|cos＜

AC

，

n2

＞|=|1×

0+ 2 2 + 2 2

1× 2+1+1

|=

2

2

．
即点C到平面ABD的距离为

2

2

；
（III）解：∵

BA

=（-1，-

2

2

，

2

2

），

CB

=（1，0，0），
∴平面ABC的一个法向量为

n3

=（0，1，1）
又A(0，-

2

2

，

2

2

)，E(

1

2

，-

2

2

，0)，∴

AE

=（

1

2

，0，-

2

2

）
∴平面AEC的一个法向量为

n4

=(2，

2

，

2

)．
∵

n3

•

n4

=0+

2

+

2

=2

2

，|

n3

|=

2

，|

n4

|=2

2

，
∴cos＜

n3

，

n4

＞=

n3 • n4

| n3 || n4 |

=

2

2

．
∴二面角B-AC-E的大小是45°．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角平面角最常用的方法，利用空间向量求空间角起到事半功倍的效果，该题是中高档题．